Crash的数字表格

Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 259 MB

Description

今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张NM的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个45的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。

Input

输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。

Output

输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod 20101009的值。

Sample Input

4 5

Sample Output

122

HINT

100%的数据满足N, M ≤ 10^7。

Main idea

求img

Solution

先推一波式子：

img

然后我们只要求出了 f 就可以解决这个问题了。

img

然后我们就可以莫比乌斯反演出解了。

Code

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long s64;

const int ONE = 10000005;
const int MOD = 20101009;

int T;
int n,m;
bool isp[ONE];
int prime[700005],p_num;
int miu[ONE];
s64 Ans,sum[ONE];

int get()
{
    int res=1,Q=1;  char c;
    while( (c=getchar())<48 || c>57)
        if(c=='-')Q=-1;
    if(Q) res=c-48;
    while((c=getchar())>=48 && c<=57)
        res=res*10+c-48;
    return res*Q;
}

void Getmiu(int MaxN)
{
    miu[1] = 1;
    for(int i=2; i<=MaxN; i++)
    {
        if(!isp[i])
            prime[++p_num] = i, miu[i] = -1;
        for(int j=1; j<=p_num, i*prime[j]<=MaxN; j++)
        {
            isp[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0)
            {
                miu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            miu[i * prime[j]] = -miu[i];
        }
    }
    for(int i=1; i<=MaxN; i++)
        sum[i] = (sum[i-1] + (s64)i*i%MOD*(miu[i])%MOD) % MOD;
}

s64 Sum(int n,int m)
{
    return ((s64)n*(n+1)/2%MOD) * ((s64)m*(m+1)/2%MOD) % MOD;
}

s64 f(int n,int m)
{
    s64 Ans = 0;
    if(n > m) swap(n,m);
    for(int i=1, j=0; i<=n; i=j+1)
    {
        j = min(n/(n/i), m/(m/i));
        Ans += Sum(n/i, m/i) * ((sum[j] - sum[i-1] + MOD) % MOD) % MOD;
        Ans %= MOD;
    }
    return Ans;
}

int main()
{
    n=get();    m=get();
    if(n > m) swap(n,m);
    Getmiu(n);
    for(int i=1, j=0; i<=n; i=j+1)
    {
        j = min(n/(n/i), m/(m/i));
        Ans += f(n/i, m/i) * ((s64)(i+j)*(j-i+1)/2%MOD) % MOD;
        Ans %= MOD;
    }
    printf("%lld",Ans);
}